矢量分析与坐标变换知识整理
2024.03.05 将电磁场的内容合并进来，证明过程见电磁场相关书籍
坐标变换1
直角坐标系
位置矢量：
\[\vec{r} = x \widehat{e}_{x} + y \widehat{e}_{y} + z \widehat{e}_{z}\]线元矢量：
\[d\vec{l} = dx \widehat{e}_{x} + dy \widehat{e}_{y} + dz \widehat{e}_{z}\]面元矢量：
\[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} d\vec{S}_{x}= dy dz \widehat{e}_{x}\\ d\vec{S}_{y}= dx dz \widehat{e}_{y}\\ d\vec{S}_{z}= dx dy \widehat{e}_{z} \end{matrix}\right. \end{array}\]体积元：
\[dV = dxdydz\]柱坐标系
位置矢量：
\[\vec{r} = \rho \widehat{e}_{\rho} + z \widehat{e}_{z}\]线元矢量：
\[d\vec{l} = d \rho \widehat{e}_{\rho} + \rho d\varphi \widehat{e}_{\varphi} + dz \widehat{e}_{z}\]面元矢量：
\[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} d\vec{S}_{\rho}= \rho d\varphi dz \widehat{e}_{\rho}\\ d\vec{S}_{\varphi}= d\rho dz \widehat{e}_{\varphi}\\ d\vec{S}_{z}= \rho d\rho d\varphi \widehat{e}_{z} \end{matrix}\right. \end{array}\]体积元：
\[dV = \rho d\rho d\varphi dz\]球坐标系
位置矢量：
\[\vec{r} = \rho \widehat{e}_{\rho}\]线元矢量：
\[d\vec{l} = d\rho \widehat{e}_{\rho} + \rho d\theta \widehat{e}_{\theta} + \rho sin\theta d\varphi \widehat{e}_{\varphi}\]面元矢量：
\[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} d\vec{S}_{\rho}= \rho^{2} sin\theta d\theta d\varphi \widehat{e}_{\rho}\\ d\vec{S}_{\theta}= \rho sin\theta d\rho d\varphi \widehat{e}_{\theta}\\ d\vec{S}_{\varphi}= \rho d\rho d\varphi \widehat{e}_{\varphi} \end{matrix}\right. \end{array}\]体积元：\(dV = \rho ^{2} sin\theta d\rho d\theta d\varphi\)
一般正交坐标系
线元矢量：
\[d\vec{l} = h_{1} du_{1} \widehat{e}_{u_{1}} + h_{2} du_{2}\widehat{e}_{u_{2}} + h_{3} du_{3} \widehat{e}_{u_{3}}\]面元矢量：
\[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} d\vec{S}_{1}= h_{2} h_{3} du_{2} du_{3} \widehat{e}_{u_{1}}\\ d\vec{S}_{2}= h_{1} h_{3} du_{1} du_{3} \widehat{e}_{u_{2}}\\ d\vec{S}_{3}= h_{1} h_{2} du_{1} du_{2} \widehat{e}_{u_{3}} \end{matrix}\right. \end{array}\]体积元：
\[dV = h_{1} h_{2} h_{3} du_{1} du_{2} du_{3} \quad (\text{其中} h_{1} ,h_{2}, h_{3} \text{叫做拉梅系数})\]不同坐标系下的拉梅系数：
| \(h_{1}\) | \(h_{2}\) | \(h_{3}\) | |
|---|---|---|---|
| 直角坐标 | 1 | 1 | 1 |
| 柱坐标 | 1 | \(\rho\) | 1 |
| 球坐标 | 1 | \(\rho\) | \(\rho sin\theta\) |
坐标变换矩阵：
\[\begin{bmatrix} \widehat{e}_{\rho}\\ \widehat{e}_{\varphi}\\ \widehat{e}_{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\varphi & sin\varphi & 0\\ -sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \widehat{e}_{x}\\ \widehat{e}_{y}\\ \widehat{e}_{z} \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} \widehat{e}_{\rho}\\ \widehat{e}_{\theta}\\ \widehat{e}_{\varphi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sin\theta cos\varphi & sin\theta sin\varphi & cos\theta\\ cos\theta cos\varphi & cos\theta sin\varphi & -sin\theta\\ -sin\varphi & cos\varphi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \widehat{e}_{x}\\ \widehat{e}_{y}\\ \widehat{e}_{z} \end{bmatrix}\]梯度 散度 旋度2
梯度
方向导数
\[\frac{\partial u}{\partial \vec{l} } = u_{x} cos\alpha + u_{y} cos\beta + u_{z} cos\gamma \quad (\text{其中} cos\alpha, cos\beta, cos\gamma \text{为} \vec{l} \text{的方向余弦})\]符号
记为 \(gradf\) 或 \(\nabla f\)
\[\nabla = \frac{1}{h_{1}}\frac{\partial}{\partial u_{1}} \widehat{e}_1 + \frac{1}{h_{2}}\frac{\partial}{\partial u_{2}} \widehat{e}_2 + \frac{1}{h_{3}}\frac{\partial}{\partial u_{3}} \widehat{e}_3\]梯度与方向导数的联系：
\[\frac{\partial u}{\partial \vec{l}} = \nabla u \cdot \vec{l}=\lvert {\nabla u}\rvert \lvert\vec{l} ^{0} \rvert cos\varphi\]当 \(\varphi = 0\) 时，\(\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\) 取最大值；当 \(\varphi = \pi\) 时，\(\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\) 取最小值
梯度积分公式（证明需要用到散度定理）
\[\int_{V} \nabla \phi dV = \oint_{S} \phi dS\]散度
通量
设向量场
\[\vec{F} = P(x, y, z) \vec{i} + Q(x, y, z) \vec{j} + R(x, y, z) \vec{k} , (x, y, z) \in \Omega\]其中 \(P，Q，R\)具有一阶连续偏导数，\(\Sigma\) 为场中的定侧曲面，则称曲面积分 \(\Phi = \iint\limits_{\Sigma }^{} \vec{F} \cdot d\vec{S}\) 为向量场 \(\vec{F}\) 通过定侧曲面 \(\Sigma\) 的通量
符号
记为 \(div \vec{F}\) ，\(div \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F}\)
散度定理/高斯定理：
\[{\oiint}_{S^{+}} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint\limits_{\Sigma}^{} div \vec{F} dV\]即矢量场在 \(S\) 的通量等于其散度在 \(S\) 包围的区域上的三重积分
旋度
环量
矢量\(\vec{A}\)沿一闭曲线\(\vec{l}\)的线积分定义为矢量\(\vec{A}\)沿该闭合曲线的环量
\[\Gamma = \oint_{l} \vec{A} \cdot d \vec{l}\]符号
记为\(rot \vec{F}\) 或 \(curl \vec{F}\)
\[rot \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \vec{a}_{n} \lim_{\Delta S \to 0} \left ( \frac{\oint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{l}}{\Delta S}\right)\]旋度定理
\[\int_{V}(\nabla \times \vec{A}) dV = - \oint_{S} \vec{A} \times d \vec{S} = \oint_{S} d \vec{S} \times \vec{A}\]斯托克斯定理
\[\oint_{C} Pdx + Qdy + Rdz = \iint\limits_{\Sigma}\begin{vmatrix} cos\alpha & cos\beta & cos\gamma\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}dS\]其中\((cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)\) 为 \(\Sigma\) 上任意指定侧的单位法向量
或
\[\int_{S} (\nabla \times \vec{A}) \cdot d \vec{S} = \oint_{l} \vec{A} \cdot d \vec{l}\]公式揭示了沿曲面 \(\Sigma\) 的曲面积分与其边界曲线 \(C\) 的曲线积分间的关系
标量场与矢量场的性质
梯度场的旋度恒为0
\[\nabla \times \left( \nabla u \right) \equiv 0\]旋度场的散度恒为0
\[\nabla \cdot \nabla \times \vec{A} \equiv 0\]标量场与矢量场的定理3
标量格林定理
标量第一格林定理
\[\int_{V}(\psi \nabla^{2} \phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi )dV = \oint_{S} (\psi \nabla \phi )\cdot \vec{a}_{n}dS = \oint_{S}\psi \frac{\partial \phi }{\partial n} dS\] \[\int_{V}(\phi \nabla^{2} \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi )dV = \oint_{S} (\phi \nabla \psi )\cdot \vec{a}_{n}dS = \oint_{S}\phi \frac{\partial \psi }{\partial n} dS\]特别地，当\(\phi = \psi\)时
\[\int_{V}(\phi \nabla^{2} \phi + |\nabla \phi|^{2} )dV = \oint_{S} (\phi \nabla \phi )\cdot \vec{a}_{n}dS = \oint_{S}\phi \frac{\partial \phi }{\partial n} dS\]标量第二格林定理
\[\int_{v} (\phi \nabla^{2} \psi - \psi \nabla ^{2} \phi )dV = \oint_{S} (\phi \frac{\partial \psi }{\partial n} - \psi \frac{\partial \phi }{\partial n})dS\]矢量场的唯一性定理
一个矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边界条件（边界上的切向或法向边界条件）唯一确定
亥姆霍兹定理
若矢量场\(\vec{f}\)在给定的无限空间域\(V\)内处处单值，且其导数连续、有界，而源分布在有限区域中，则矢量场\(\vec{f}\)可分解为无旋场\(\vec{f}_{d}\)和无散场\(\vec{f}_{c}\)之和，并且f可表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和，即
\[\begin{align} \vec{f} &= \vec{f}_{d} + \vec{f}_{c} \\ &= - \nabla \phi + \nabla \times \vec{A} \\ &= - \nabla \left \{ \int_{V} \left [ \frac{\nabla^{\prime} \cdot \vec{f}(r^{\prime}) }{4 \pi R} dV^{\prime} - \oint_{S} \left [ \frac{\vec{f}(r^{\prime}) \cdot \vec{a}_n}{4 \pi R} \right ] \right ] dS^{\prime} \right \} \\ &+ \nabla \times \left \{ \int_{V} \left [ \frac{\nabla^{\prime} \times \vec{f}(r^{\prime})}{4 \pi R}dV^{\prime} \right ] + \oint_{S} \left [ \frac{\vec{f}(r^{\prime}) \times \vec{a}_n }{4 \pi R} \right ] dS^{\prime} \right \} \end{align}\]正交曲线坐标系中场论的表达式
标量\(\phi\)的梯度
\[\nabla f = \frac{1}{h_{1}}\frac{\partial \phi}{\partial u_{1}} \vec{a}_1 + \frac{1}{h_{2}}\frac{\partial \phi}{\partial u_{2}} \vec{a}_2 + \frac{1}{h_{3}}\frac{\partial \phi}{\partial u_{3}} \vec{a}_3\]矢量\(\vec{A}\)的散度
\[\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left [ \frac{\partial }{\partial u_{1}} (h_{2}h_{3}A_{1}) + \frac{\partial }{\partial u_{2}} (h_{1}h_{3}A_{2}) + \frac{\partial }{\partial u_{3}} (h_{1}h_{2}A_{3}) \right ]\]矢量\(\vec{A}\)的旋度
\[\nabla \times \vec{A} = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \begin{vmatrix} h_{1}\vec{a}_{1} & h_{2}\vec{a}_{2} & h_{3}\vec{a}_{3}\\ \frac{\partial }{\partial u_{1}} & \frac{\partial }{\partial u_{2}} & \frac{\partial }{\partial u_{3}}\\ h_{1}A_{1} & h_{2} A_{2} & h_{3} A_{3} \end{vmatrix}\]\(\nabla^{2} \phi\)的展开式为
\[\nabla^{2} \phi = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial u_{i}}(\frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}\frac{\partial \phi}{\partial u_{i}})\]导出公式： \(\nabla^{2} \vec{A} = \nabla (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla \times \nabla \times \vec{A}\)
参考
本文由作者按照 CC BY 4.0 进行授权